viernes, 2 de agosto de 2013
Repartiendo números
Los números del 1 al 100 se reparten en 50 parejas. Para cada una de las parejas se calcula la diferencia positiva entre sus elementos. Así hemos generado una lista de 50 números $a_1,..., a_{50}$. ¿Para qué enteros $1\le k \le 50$ es posible encontrar un acomodo de parejas de tal forma que haya $k$ números pares y $50 - k$ números impares entre $a_1,..., a_{50}$ ?
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En el conjunto $S = \left \{ 1,2,3,4, \right.$...$\left. ,98, 99, 100 \right \}$ es claro que existen exactamente 50 números pares y 50 números impares. Luego denotemos $a_i = x_i - y_i$, donde $x_i$ , $y_i$ $\in S$ y son diferentes entre sí . Como $a_i>0 \Rightarrow y_i < x_i$. Supongamos que $P=\left \{a_1, a_2,\right.$...$\left.,a_{k-1}, a_k \right \}$ es el conjunto de las diferencias pares e $I=\left \{ a_{k+1},a_{k+2}, a_{k+3},\right.$...$\left. ,a_{49}, a_{50} \right \}$ el conjunto de las diferencias impares, cuya cardinalidad de $P$ es $k$ y de $I$ es $50-k$. Fijémonos primero en los elementos del conjunto $I$: es claro que para que un número resulte impar debe ser diferencia de un número par y otro número impar, ésto es si $a_i = x_i -y_i$ es impar, entonces $x_i$ y $y_i$ tienen diferente paridad y por lo tanto se utilizan exactamente $50-k$ números impares y $50-k$ números pares del conjunto $S$ para formar los elementos de $I$. Entonces nos quedan $k$ elementos pares y $k$ elementos impares para formar a los elementos de $P$. Ahora es fácil ver que para formar un número par debe ser diferencia de dos números con misma paridad. Como todos los elementos de $P$ son pares entonces cada $x_i$ y $y_i$ tienen la misma paridad, y teniamos exactamente $k$ números pares y $k$ números impares, los cuales necesariamente tenemos que juntar en parejas de la misma paridad para formar los elementos de $P$, entonces $k$ debe ser extrictamente un número par para que las condiciones pedidas se cumplan, de lo contrario en $P$ no se podrían juntar en parejas números con la misma paridad y entonces un elemento de $P$ sería impar, lo cual es imposible. Luego es fácil ver que los valores para $k$ pueden ser $ 2, 4, ... , 48, 50$ tomando $\frac{k}{2}$ diferencias formadas por números pares y $\frac{k}{2}$ diferencias formadas por números impares para el conjunto $P$. $\blacksquare$
ResponderBorrar@.@ Un poco revuelto el asunto pero la deducción de que $k$ debe ser par está bien. Te falta mostrar que para cada caso de $k$ par existe un acomodo que cumpla.
BorrarYo tengo algo un poco diferente, sobre todo en la forma de redactar:
ResponderBorrarTenemos que $a_i (i=1,2,...,50)$ será par si y solo si los dos números restados tenían la misma paridad, y que será impar si y solo si los dos números restados tenían diferente paridad. Entonces, si queremos k $a_i$'s pares, necesitamos tomar k parejas de números de la misma paridad. Digamos que elegimos $a$ parejas de números que eran pares y $b$ parejas de números impares (y entonces $k=a+b$). Entonces nos sobran $50-2a$ números pares y $50-2b$ impares. Como queremos emparejarlos entre sí (recordemos que su resta será impar si y solo si se restan dos números de diferente paridad), necesitamos que $50-2a$=$50-2b$, de donde tenemos $a=b$, y por tanto, $k=a+b=2a$, de donde se tiene que $k$ debe ser par (con $a\l e 25$, o bien, $k \le 50$). Finalmente, notemos que si k es par y menor o igual a 50, entonces podemos hacer las parejas: Si escribimos $k=2a$, podemos tomar $a$ parejas de números pares y $a$ números impares para formar $k$ números $a_i$'s pares. El resto de los $50-2a$ números pares y $50-2a$ números impares se pueden emparejar entre sí, formado $50-k a_i$'s impares. Entonces es posible si y solo si k es par (y menor o igual a 50).
No sé cómo editar comentarios así que lo corrigo aquí: lo que no salió bien (lo de Undefined control sequence) debería decir: con $a \le 25$, o bien, $k \le 50$.
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