Ecuación con cuadrados

Encuentra todos las parejas de enteros $x, y$ tales que

$y^2 = x^2 + x + 2013$.

Cubriendo un tablero.

Se tiene un tablero de $7 \times 7$ en el cual se quieren poner pentaminós cruz, esto es, una figura de $5$ cuadro de $1\times 1$ en forma de cruz (un cuadrado enmedio con un cuadro adyacente en cada lado). ¿Cuál es la máxima cantidad de pentaminós cruz que pueden ponerse en el tablero sin que se encimen?

Producto de enteros

El producto de tres enteros pares consecutivos es $87abcde8$. Encuentra los dígitos $a, b, c, d, e$.

Triángulo rectángulo

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo isósceles con $\angle A = 90°$. Sean $M$ y $N$ puntos en $BC$ tales que $\angle MAN = 45°$. El circuncírculo de $AMN$ intersecta a $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Demuestra que $BP + CQ = PQ$.

Acomodo de numeros

Colocamos los numeros naturales como sigue:

\[ 1\quad 3\qquad 6\qquad\qquad\quad 11\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\ 19\qquad\qquad32\qquad\qquad 53\ldots\\ 2\quad 4\ \ 5\quad 7\ \ 8\ \ 9\ \ 10\quad\ 12\ 13\ 14\ 15\ 16\ 17\ 18\quad\ 20\mbox{ to }31\quad\ 33\mbox{ to }52\quad\ \ldots \]

Los numeros se han acomodado de acuerdo a las siguientes reglas:

• El 1 va arriba, el 2 va abajo y el 3 va arriba. 
• Apartir de alli la cantidad de numeros en un bloque de numeros en la fila de abajo esta determinado por el primer numero del bloque anterior. Por ejemplo, observa que el tercer bloque $7, 8, 9, 10$ tiene $4$ numeros, $4$ es precisamente el primer numero del bloque de numeros anterior.

Llamemos $A_k$ al $k-$esimo numero en la fila superior. Por ejemplo, $A_1 = 1, A_4 = 11, A_7 = 53$. Determina (y justificia tu respuesta) el valor $A_{2013}$.
(Me quedo medio feo el acomodo pero supongase que van alternandose bonito los bloques.)

Puntos en el plano *

Se colocan $n$ puntos en el plano coordenado cuyas entradas son enteras y no hay $3$ colineales. Determina que tan grande puede ser $n$ si deseamos que el centroide de cualquier triangulo con vertices en esos $n$ puntos no tenga ambas coordenadas enteras.

Cubo perfecto

Encuentra todos los números primos $p$ tales que $p^2 - p + 1$ es un cubo perfecto.

Lemita útil de Teoría de Números

El siguiente es un lema muy útil de teoría de números: Demuestra que el producto de $k$ enteros consecutivos es divisible entre $k!$.

Sentándose alrededor de una mesa

2013 personas escogen un número del 1 al 2013, sin repeticiones. Luego, proceden a sentarse alrededor de una mesa circular. ¿De cuántas maneras pueden sentarse alrededor de ella si cada persona debe estar sentado al lado de personas cuyo número sea 1 o 2 unidades mayor?

Encontrar n

Encuentra el valor del número natural $n$ que satisface

$\dfrac{1^3 + 3^3 + ... + (2n -1)^3}{2^3 + 4^3 + ... + (2n)^3}=\dfrac{199}{242}$.

Triángulo equilátero

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $\angle BAC = 120°$. Sean $N$ y $M$ puntos en el lado $BC$ tales que: $\angle ANC = 120°$ y $BM = MN$. Demuestra que $\triangle AMN$ es equilátero.

Repartiendo números

Los números del 1 al 100 se reparten en 50 parejas. Para cada una de las parejas se calcula la diferencia positiva entre sus elementos. Así hemos generado una lista de 50 números $a_1,..., a_{50}$. ¿Para qué enteros $1\le  k \le 50$ es posible encontrar un acomodo de parejas de tal forma que haya $k$ números pares y $50 - k$ números impares entre $a_1,..., a_{50}$ ?

Ecuación diofantina

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(n, y)$ tales que

$n! = y^3 + 5$.

Lemita útil de Geo 1.

Este es un lema famoso de geometría que todos deberían saberse. Es muy útil. Lo pongo como problema.

Sea $C_1$ una circunferencia tangente internamente en $P$ a una circunferencia $C_2$.  Sea $AB$ una cuerda de $C_2$ tangente a $C_1$ en $K$. Demuestra que $PK$ es la bisectriz del $\angle APB$.

Nota: Para hacer el símbolo de ángulo en Latex el comando es \angle.

Coloreando un cubo.

Se tienen 6 colores de pintura distintos (digamos, rojo, verde, azul, amarillo, negro y blanco) para colorear las caras de un cubo. ¿De cuántas maneras puede lograrse esto si no se pintarán dos caras del mismo color?

Nota: Consideramos dos cubos como iguales si uno puede obtenerse de otro rotándolo.