Este es un lema famoso de geometría que todos deberían saberse. Es muy útil. Lo pongo como problema.
Sea $C_1$ una circunferencia tangente internamente en $P$ a una circunferencia $C_2$. Sea $AB$ una cuerda de $C_2$ tangente a $C_1$ en $K$. Demuestra que $PK$ es la bisectriz del $\angle APB$.
Nota: Para hacer el símbolo de ángulo en Latex el comando es \angle.
Denotemos $Q = PB \cap C_1$ y $S = AP \cap C_1$. Luego tracemos la tangente común a ambas circunferencias y llamémosla $l$. Entonces es claro que $\angle PSQ = \angle QPl = \angle BPl = \angle BAP$ ya que en $C_1$ y en $C_2$ se cumple que son ángulos inscritos y seminscritos substendiendo el mismo arco ($PQ$ y $PB$ respectivamente). Luego como $A$, $S$ y $P$ son colineales tenemos que $SQ \parallel AB$ ya que $\angle PSQ = \angle PAB$ y son correspondientes. Entonces tenemos que $\angle QSK = \angle SKA$ por ser alternos internos. Luego tambien tenemos que $\angle KSQ = \angle KPQ$ ya que el cuadrilátero $KQPS$ es cíclico y substienden el arco $KQ$ y como $AB$ es tangente a $C_1$ tenemos que $\angle SPK = \angle SKA$ por ser inscrito y seminscrito substendiendo el arco $SK$ en $C_1$. Entonces consideramos la siguiente igualdad:
ResponderBorrar$\angle SPK = \angle SKA = \angle QSK = \angle KPQ$
Lo cual implica que $PK$ sea la bisectriz de $\angle APB$. $\blacksquare$
Después de dos intentos por fin me salió bien :)
Si, esta solución es bonita y está muy bien escrita por cierto. Este lema es muy útil sabérselo, esa configuración aparece mucho en los problemas.
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