Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $\angle BAC = 120°$. Sean $N$ y $M$ puntos en el lado $BC$ tales que: $\angle ANC = 120°$ y $BM = MN$. Demuestra que $\triangle AMN$ es equilátero.
Primero notemos que $\angle ANB=180°-120°=60°$. Además tenemos que $\angle NAC$ es 30° (Por suma de ángulos internos del triángulo $ANC$). Entonces $\angle ABN=120°-30°=90°$, por lo que $ABN$ es triángulo rectángulo. Como $AM$ es su mediana, $MN=AN$ (es fácil ver esto porque como $ABN$ es triángulo rectángulo, M es su circuncentro y por tanto $BM=MN=AM$). Entonces $AMN$ es isósceles, pero ya habíamos visto que $\angle ANM = 60°$. Entonces es equilátero.
Primero notemos que $\angle ANB=180°-120°=60°$. Además tenemos que $\angle NAC$ es 30° (Por suma de ángulos internos del triángulo $ANC$). Entonces $\angle ABN=120°-30°=90°$, por lo que $ABN$ es triángulo rectángulo. Como $AM$ es su mediana, $MN=AN$ (es fácil ver esto porque como $ABN$ es triángulo rectángulo, M es su circuncentro y por tanto $BM=MN=AM$). Entonces $AMN$ es isósceles, pero ya habíamos visto que $\angle ANM = 60°$. Entonces es equilátero.
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