sábado, 3 de agosto de 2013
Sentándose alrededor de una mesa
2013 personas escogen un número del 1 al 2013, sin repeticiones. Luego, proceden a sentarse alrededor de una mesa circular. ¿De cuántas maneras pueden sentarse alrededor de ella si cada persona debe estar sentado al lado de personas cuyo número sea 1 o 2 unidades mayor?
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El problema se refiere a que la diferencia entre ellos oscile entre una o dos unidades, ¿cierto?
ResponderBorrarPorque si tuviese que estar junto a alguien mayor, este "mayor" realmente estaría sentado junto a alguien menor y no se podría.
Si, se refiere a que "oscile" entre una y dos unidades, ya sea más grande o más chico.
BorrarEn respuesta al problema "sentándose alrededor de una mesa" y tratando de generalizar un acomodo para cualquier cantidad de personas comenzando desde $1$, esto si $n \leq 4$, debido a que si $n \leq 4$ habrá por lo menos un número que no sea contiguo para ese número, por ejemplo: el $4$ ya no cumple la condición de ser a lo más dos unidades mayor con respecto al $1$.
ResponderBorrarCada uno de los números que se encuentran entre el $1$ y $n$ tendrá cuatro opciones para sentar a su costado, aclarando que dos de estas opciones son mayores y las otras dos son menores. Sin embargo, se exceptúa de lo anterior a $1$ y $n$ que solo tienen dos opciones para sentar a su lado. De igual forma exceptuamos a $2$ y a $n-1$ que tienen tres números a elegir cada uno.
Al ocurrir que $1$ y $n$ tienen dos opciones forzosamente elegibles, tomaremos como base a $1$.
Comenzando con la cantidad electa y siguiendo un orden numérico podemos poner a su derecha al $2$, esto implicaría que el $3$ se encontrase a la izquierda del $1$. Ahora al momento de acomoda el $4$ tendría que tomar de manera forzada el lugar contiguo al $2$ debido a que si dicho número tomara el lugar junto al $3$, cualquier número siguiente hasta $n$ no podría tomar el lugar junto al $2$ ya que la diferencia sería excedente de dos unidades. Esto se seguiría para los números consecuentes hasta llegar a $n$.
Al ser redonda la mesa $1$ y $n$ quedarían "frente a frente" por lo cual, los números pares se acomodarían de algún costado con referencia a $1$ (en el ejemplo de arriba es el lado derecho) y los impares del lado contrario. Ejemplificando: Si los pares están del lado derecho de $1$ estarán del lado izquierdo de $n$ y viceversa. Por lo tanto habría dos formas de acomodar, y subrayo acomodar, a los invitados para cualquier $n$.
Pero las formas de sentar a los invitados dependen de $n$ debido a que habrá $n$ cantidad de sillas para aplazar a las personas, siendo así los lugares se multiplicarían por las formas de acomodar.
Ahora, como el problema nos plantea que hay $2013$ invitados y por ende igual número de sillas, diríamos que la cantidad de formas de sentar a 2013 invitados con las condiciones antes mencionadas son $2(2013)$, es decir, $4026$ maneras de sentarlos alrededor de la mesa.
Cualquier duda comentarla por favor. Hasta luego.