\[ 1\quad 3\qquad 6\qquad\qquad\quad 11\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\ 19\qquad\qquad32\qquad\qquad 53\ldots\\ 2\quad 4\ \ 5\quad 7\ \ 8\ \ 9\ \ 10\quad\ 12\ 13\ 14\ 15\ 16\ 17\ 18\quad\ 20\mbox{ to }31\quad\ 33\mbox{ to }52\quad\ \ldots \]
Los numeros se han acomodado de acuerdo a las siguientes reglas:
- El 1 va arriba, el 2 va abajo y el 3 va arriba.
- Apartir de alli la cantidad de numeros en un bloque de numeros en la fila de abajo esta determinado por el primer numero del bloque anterior. Por ejemplo, observa que el tercer bloque $7, 8, 9, 10$ tiene $4$ numeros, $4$ es precisamente el primer numero del bloque de numeros anterior.
Llamemos $A_k$ al $k-$esimo numero en la fila superior. Por ejemplo, $A_1 = 1, A_4 = 11, A_7 = 53$. Determina (y justificia tu respuesta) el valor $A_{2013}$.
(Me quedo medio feo el acomodo pero supongase que van alternandose bonito los bloques.)
(Me quedo medio feo el acomodo pero supongase que van alternandose bonito los bloques.)
El primer número del bloque anterior a $A_k$ es $A_{k-1}+1$, y la cantidad de números que se agregarán en ese bloque es $A_{k-2}+1$.
ResponderBorrarEntonces $A_k=A_{k-1}+1+A_{k-2}+1=A_{k-1}+A_{k-2}+2$. Además tenemos que $A_1=1, A_2=3$. Resolvamos la relación de recurrencia. Por simplicidad, cambiemos las condiciones iniciales (usando la relación) a $A_0=0, A_1=1$.
La ecucación característica (homogénea) de $A_k=A_{k-1}+A_{k-2}+2$ es $x^2-x-1=0$, cuyas raíces son $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ y $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$. Entonces su solución homogénea es $A_k^{h}=A\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^k+B\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^k$, donde $A$ y $B$ son constantes por determinar.
Ahora, como su parte homogénea es una constante (y 1 no es raíz de la ecuación característica), su solución particular debe ser una constante $C$.
Planteando la ecuación $C=C+C+2$ (es decir, al sustituir la solución particular en la relación) es fácil ver que $C=-2$. Entonces la solución particular de la relación es $A_k^{p}=-2$, lo cual implica que:
$A_k=A_k^{h}+A_k^{p}=A\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^k+B\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^k-2$
Sustituyendo las condiciones iniciales $A_0=0, A_1=1$ tenemos:
$0=A+B-2$
$1=A\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+B\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)-2$
Resolviendo el sistema tenemos $A=\dfrac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}}, B=\dfrac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}}$. Sustituyendo, tenemos que la solución a la relación de recurrencia es:
$A_k=\left(\dfrac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}}\right)\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^k+\left(\dfrac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}}\right)\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^k-2$
Tomando $k=2013$, obtenemos $A_{2013}=\left(\dfrac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}}\right)\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2013}+\left(\dfrac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}}\right)\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2013}-2$.
Cabe agregar que es un número de como 400 dígitos.
BorrarEsto es casi correcto, sin embargo comentaré lo siguiente:
Borrar1.- Según yo resolviste incorrectamente el sistema de ecuaciones.
2.- La solución que yo tenía pensada no utiliza un cañonazo tan fuerte como este. Esto de aquí es teoría de recurrencias y es muy útil pero un poco avanzado. Hay una manera de hacer esto, con la mismas ideas, pero expresado de manera más simple.
En efecto, yo quería que dedujeran (y demostraran) que $A_k = A_{k - 1} + A_{k - 2} + 2$ y luego relacionaran esto con los números de Fibonacci (es una buena excusa para aprender de ellos).
Aquí el artículo de wikipedia:
http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci
Creo que sí está bien resuleto el sistema. De hecho, tenemos que $A_k=F_{n+2}-2$, donde $F_n$ es el n-ésimo número de Fibonacci, y también se puede comprobar esto mediante la comparación de la fórmula de los números de Fibonacci y de los $A_k$'s de arriba.
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