Tomemos un primo $p$ que divida al producto de los números consecutivos y a $k!$, y denotemos $[a]$ el mayor entero menor o igual a $a$.
Luego, entre los k números consecutivos hay al menos $[\dfrac{k}{p}]+[\dfrac{k}{p^2}]+[\dfrac{k}{p^3}]+...$ factores p (porque cada p números hay al menos un factor p^1, por lo que hay al menos $[\dfrac{k}{p}]$ factores p^1, y de manera análoga tenemos al menos [\dfrac{k}{p^2}] factores p^2, [\dfrac{k}{p^3}] factores p^3, etc).
Sin embargo, nosotros sabemos que la cantidad (exacta) de factores $p$ que divide a k! es $[\dfrac{k}{p}]+[\dfrac{k}{p^2}]+[\dfrac{k}{p^3}]+...$, lo cual es menor o igual a la cantidad de factores $p$ en el producto de los $k$ números consecutivos.
Como esto pasa para cualquier factor primo $p$ que compartan, y como todos los factores primos de $k!$ aparecen en el producto de los $k$ números consecutivos (pues entre $n$ números consecutivos simepre hay un múltiplo de $n$), concluimos que k! divide a este producto, que es lo que se quería demostrar.
Tomemos un primo $p$ que divida al producto de los números consecutivos y a $k!$, y denotemos $[a]$ el mayor entero menor o igual a $a$.
ResponderBorrarLuego, entre los k números consecutivos hay al menos $[\dfrac{k}{p}]+[\dfrac{k}{p^2}]+[\dfrac{k}{p^3}]+...$ factores p (porque cada p números hay al menos un factor p^1, por lo que hay al menos $[\dfrac{k}{p}]$ factores p^1, y de manera análoga tenemos al menos [\dfrac{k}{p^2}] factores p^2, [\dfrac{k}{p^3}] factores p^3, etc).
Sin embargo, nosotros sabemos que la cantidad (exacta) de factores $p$ que divide a k! es $[\dfrac{k}{p}]+[\dfrac{k}{p^2}]+[\dfrac{k}{p^3}]+...$, lo cual es menor o igual a la cantidad de factores $p$ en el producto de los $k$ números consecutivos.
Como esto pasa para cualquier factor primo $p$ que compartan, y como todos los factores primos de $k!$ aparecen en el producto de los $k$ números consecutivos (pues entre $n$ números consecutivos simepre hay un múltiplo de $n$), concluimos que k! divide a este producto, que es lo que se quería demostrar.