Ecuación con cuadrados

Encuentra todos las parejas de enteros $x, y$ tales que

$y^2 = x^2 + x + 2013$.

Cubriendo un tablero.

Se tiene un tablero de $7 \times 7$ en el cual se quieren poner pentaminós cruz, esto es, una figura de $5$ cuadro de $1\times 1$ en forma de cruz (un cuadrado enmedio con un cuadro adyacente en cada lado). ¿Cuál es la máxima cantidad de pentaminós cruz que pueden ponerse en el tablero sin que se encimen?

Producto de enteros

El producto de tres enteros pares consecutivos es $87abcde8$. Encuentra los dígitos $a, b, c, d, e$.

Triángulo rectángulo

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo isósceles con $\angle A = 90°$. Sean $M$ y $N$ puntos en $BC$ tales que $\angle MAN = 45°$. El circuncírculo de $AMN$ intersecta a $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Demuestra que $BP + CQ = PQ$.

Acomodo de numeros

Colocamos los numeros naturales como sigue:

\[ 1\quad 3\qquad 6\qquad\qquad\quad 11\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\ 19\qquad\qquad32\qquad\qquad 53\ldots\\ 2\quad 4\ \ 5\quad 7\ \ 8\ \ 9\ \ 10\quad\ 12\ 13\ 14\ 15\ 16\ 17\ 18\quad\ 20\mbox{ to }31\quad\ 33\mbox{ to }52\quad\ \ldots \]

Los numeros se han acomodado de acuerdo a las siguientes reglas:

• El 1 va arriba, el 2 va abajo y el 3 va arriba. 
• Apartir de alli la cantidad de numeros en un bloque de numeros en la fila de abajo esta determinado por el primer numero del bloque anterior. Por ejemplo, observa que el tercer bloque $7, 8, 9, 10$ tiene $4$ numeros, $4$ es precisamente el primer numero del bloque de numeros anterior.

Llamemos $A_k$ al $k-$esimo numero en la fila superior. Por ejemplo, $A_1 = 1, A_4 = 11, A_7 = 53$. Determina (y justificia tu respuesta) el valor $A_{2013}$.
(Me quedo medio feo el acomodo pero supongase que van alternandose bonito los bloques.)

Puntos en el plano *

Se colocan $n$ puntos en el plano coordenado cuyas entradas son enteras y no hay $3$ colineales. Determina que tan grande puede ser $n$ si deseamos que el centroide de cualquier triangulo con vertices en esos $n$ puntos no tenga ambas coordenadas enteras.

Cubo perfecto

Encuentra todos los números primos $p$ tales que $p^2 - p + 1$ es un cubo perfecto.