Oye no me fue muy claro en el paso en el que dices $N = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=0}^{2n}i^3}{\displaystyle \sum_{i=0}^{n}8i^3} = \dfrac{199}{242} + 1 = \dfrac{441}{242}$
O sea en el numerador hay únicamente números impares entonces a la suma de los primeros 2n cubos le resto los primeros n cubos que son pares pues de esa forma es más fácil calcular $N$ con la fórmulita para calcular los primeros n cubos. Entonces tenemos una fracción del tipo: $\frac{a-b}{b}=\frac{a}{b}-\frac{b}{b}$, pero $\frac{b}{b}=1$, luego $\frac{a-b}{b}=\frac{a}{b}-\frac{b}{b} =\frac{a}{b}-1$, en este caso el 1 es negativo, sumo 1 en ambos lados de la ecuación, en el primer miembro se cancela y en el segundo se suma 1 ( por eso el $\frac{199}{242} +1= \frac{199+242}{242}=\frac{441}{242}$)
Espero que te haya servido la explicación y sí algunas veces es muy confuso utilizar la notación $\sum$ para indicar sumas grandes, ok. Saludos.
Denotemos a nuestro número $N$. Luego es claro que $N$ se puede expresar se la siguiente forma:
ResponderBorrar$N = \frac{\sum_{i=0}^{2n}i^{3} - \sum_{i=0}^{n} (2i)^3}{\sum_{i=0}^{n} (2i)^3} =\frac{199}{242}$
$N = \frac{\sum_{i=0}^{2n}i^{3}}{\sum_{i=0}^{n} 8i^3} = \frac{199}{242}+1 = \frac{441}{242}$
Luego consideramos la fórmula $\sum_{i=0}^{k}i^3 =(\frac{k(k+1)}{2})^2$, de dónde obtenemos lo siguiente:
$N = \frac{(\frac{2n(2n+1)}{2})^2}{8(\frac{n(n+1)}{2})^2}= \frac{441}{242}$
$N = \frac{(\frac{2n(2n+1)}{2})^2}{(\frac{n(n+1)}{2})^2} = \frac{4\cdot 441}{121}$
Entonces sacamos raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación y obtenemos:
$\frac{\frac{2n(2n+1)}{2}}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{42}{11}= \frac{4n(2n+1)}{2n(n+1)}=\frac{2(2n+1)}{n+1} \Rightarrow 21(n+1)= 11(2n+1)\Rightarrow n=10$ $\blacksquare$
Oye no me fue muy claro en el paso en el que dices
ResponderBorrar$N = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=0}^{2n}i^3}{\displaystyle \sum_{i=0}^{n}8i^3} = \dfrac{199}{242} + 1 = \dfrac{441}{242}$
¿Podrías explicarlo un poco mas?
$N = \frac{1^3 + 3^3 + ... +(2n-1)^3}{2^3+4^3+...+(2n)^3}=\frac{1^3 + 2^3+ ... +(2n)^3 -(2^3 + 4^3 + ... +(2n)^3}{2^3+4^3+...+(2n)^3}$
ResponderBorrarO sea en el numerador hay únicamente números impares entonces a la suma de los primeros 2n cubos le resto los primeros n cubos que son pares pues de esa forma es más fácil calcular $N$ con la fórmulita para calcular los primeros n cubos. Entonces tenemos una fracción del tipo: $\frac{a-b}{b}=\frac{a}{b}-\frac{b}{b}$, pero $\frac{b}{b}=1$, luego $\frac{a-b}{b}=\frac{a}{b}-\frac{b}{b} =\frac{a}{b}-1$, en este caso el 1 es negativo, sumo 1 en ambos lados de la ecuación, en el primer miembro se cancela y en el segundo se suma 1 ( por eso el $\frac{199}{242} +1= \frac{199+242}{242}=\frac{441}{242}$)
Espero que te haya servido la explicación y sí algunas veces es muy confuso utilizar la notación $\sum$ para indicar sumas grandes, ok. Saludos.