Es fácil ver que para n=1,2,4 no se cumple y que n=3, y=1 es una solución. Asumamos que n es mayor o igual que 5. Entonces, como $5|n!$ y $5|5$, entonces $5|y^3$, pero como 5 es primo, $5|y$. Es decir, $y=5k$ para algún k. Sustituyendo en la ecuación original nos queda: $n!=125k^3+5$, o bien, $\dfrac{n!}{5}=25k^3+1$. Como 5 no divide a $25k^3+1$ (de lo contrario, como $5|25^k$, tendríamos que $5|1$, lo cual es una contradicción), entonces 5 tampoco divide a $\dfrac{n!}{5}$, es decir, el único factor 5 en n! es 5, y por tanto, n<10. Fijándonos en n=5,6,7,8,9 vemos que no existe ningún y entero que cumpla la igualdad (de hecho, podemos simplificar las cuentitas fijándonos solo en la última cirfa de $\dfrac{n!}{5}-1$, que debe ser 0 ó 5 (pues es divisible entre 5). Entonces la única solución es $(6,1)$.
Es fácil ver que para n=1,2,4 no se cumple y que n=3, y=1 es una solución. Asumamos que n es mayor o igual que 5. Entonces, como $5|n!$ y $5|5$, entonces $5|y^3$, pero como 5 es primo, $5|y$. Es decir, $y=5k$ para algún k. Sustituyendo en la ecuación original nos queda:
ResponderBorrar$n!=125k^3+5$, o bien, $\dfrac{n!}{5}=25k^3+1$.
Como 5 no divide a $25k^3+1$ (de lo contrario, como $5|25^k$, tendríamos que $5|1$, lo cual es una contradicción), entonces 5 tampoco divide a $\dfrac{n!}{5}$, es decir, el único factor 5 en n! es 5, y por tanto, n<10.
Fijándonos en n=5,6,7,8,9 vemos que no existe ningún y entero que cumpla la igualdad (de hecho, podemos simplificar las cuentitas fijándonos solo en la última cirfa de $\dfrac{n!}{5}-1$, que debe ser 0 ó 5 (pues es divisible entre 5).
Entonces la única solución es $(6,1)$.
Esto está bien, sólo ten cuidado. Escribiste $(6, 1)$ y debería ser $(3, 1)$.
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